O pentadecágono regular é um polígono que possui 15 lados iguais e faz parte de um conjunto de polígonos construtíveis com régua e compasso. Cada ângulo interno de um polígono regular mede 156° e a soma dos ângulos internos equivale a 2340°.
A construção geométrica de um polígono regular pode ser explicada pelo Teorema de Gauss-Wantzel, que nos diz que um polígono regular de $n$ lados é construtível com régua e compasso se, e somente se, $n$ pode ser escrito como uma potência de 2 ou como produto entre uma potência de 2 por um número primo de Fermat (distintos), podendo ser expresso de duas maneiras:
$$n = 2^k,\quad k \in \mathbb{N}
$$
ou
$$n = 2^k \cdot \prod _n F_n
$$
em que $k \in \mathbb{N}$ e $F_n$ são os números primos de Fermat, que, por sua, vez, são escritos sob a forma:
$$F_n = 2^{2^n}+1, \quad n \in \mathbb{N}
$$
Dividindo a circunferência em 15 partes iguais, obteremos setores circulares com ângulos de 24°. Assim, se conseguirmos encontrar dois pontos sobre a circunferência que nos forneça um ângulo de 24° em relação à origem, conseguiremos construir um pentadecágono regular.
Construção geométrica do pentadecágono
1. Descreva uma circunferência de centro $O$ e raio $r$.
2. Trace o diâmetro horizontal e marque os pontos $P_1$ e $P_2$.
3. Trace o diâmetro vertical, marcando os pontos $P_3$ e $P_4$. Com a ponta seca do compasso em $P_1$ e depois em em $P_2$, e raio $2r$, descreva dois arcos. A reta que passa pelas intersecções desses arcos fornece o diâmetro vertical.
4. Encontre o ponto médio de $OP_1$. Descreva o arco de raio $r$ com centro em $P_1$. A mediana passa pela intersecção do arco com a circunferência. Marque como $P_5$ o ponto médio do segmento $OP_1$.
5. Trace o segmento $P_3P_5$.
9. O ângulo $AOB$ é de $24^\circ$. Sendo assim, devemos transferir este ângulo seguidamente para descobrir os demais vértices do pentadecágono.
10. Com centro em $B$ e raio $AB$, descreva um arco marcando como $C$ a intersecção com a circunferência. Com centro em $C$ e raio $AB$ descreva um arco marcando como $D$ a intersecção com a circunferência. Continue o procedimento até e finalizar o polígono.
11. Unindo os pontos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, $N$ e $Q$, encontramos o pentadecágono regular:
Uma animação da construção pode ser vista abaixo:
Imagem:
https://en.wikipedia.org/wiki/Pentadecagon
Sugestão de livro sobre construções geométricas:
O objetivo do livro Desenho Geométrico é a obtenção de uma forma determinada, geométrica e precisa. Desse modo, o desenho geométrico é a própria geometria aplicada. Esta obra apresenta uma parte técnica acompanhada das explicações e comentários, conclusões e definições.
- Título: Desenho Geométrico
- Autor: Benjamin de A. Carvalho
- Editora: Imperial Novo Milênio
- Idioma: Português
- Capa comum: 332 páginas
- Dimensões: 22,8 x 15,6 x 1,8 cm
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